Cho các số thực dương \(a,b,c\) thoả mãn \(ab + bc + ca = 4\). Chứng minh rằng: \({a^4} + {b^4} + {c^4}

Câu hỏi số 556450:

Thông hiểu

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thoả mãn \(ab + bc + ca = 4\). Chứng minh rằng: \({a^4} + {b^4} + {c^4} \ge \dfrac{{16}}{3}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556450

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki: Cho hai bộ số thực \(\left( {{a_1};{a_2};...;{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1};{b_2};...;{b_n}} \right)\), ta có:

\(\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + .... + {b_n}^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki cho hai bộ số: \(\left( {1;1;1} \right)\) và \(\left( {{a^4};{b^4};{c^4}} \right)\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge {\left( {1.{a^2} + 1.{b^2} + 1.{c^2}} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} + {a^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge 4.4\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge \dfrac{{16}}{3}\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link