Cho số thực dương \(a,b\) thoả mãn \({a^2} + {b^2} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(A = a\sqrt {a +

Câu hỏi số 556452:

Vận dụng

Cho số thực dương \(a,b\) thoả mãn \({a^2} + {b^2} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(A = a\sqrt {a + 1} + b\sqrt {b + 1} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556452

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki: Cho hai bộ số thực \(\left( {{a_1};{a_2};...;{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1};{b_2};...;{b_n}} \right)\), ta có:

\(\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + .... + {b_n}^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,A = a\sqrt {1 + a} + b\sqrt {1 + b} \le \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {1 + a + 1 + b} \right)} \\ \Leftrightarrow A \le \sqrt {a + b + 2} \\ \Leftrightarrow A \le \sqrt {\sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 2} } \\ \Leftrightarrow A \le \sqrt {\sqrt 2 + 2} \end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 1\\\dfrac{a}{{\sqrt {a + 1} }} = \dfrac{b}{{\sqrt {b + 1} }}\\\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy GTLN của A là \(\sqrt {\sqrt 2 + 2} \)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link