Cho hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Tiếp tuyến tại \(C\) với

Câu hỏi số 556476:

Vận dụng

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Tiếp tuyến tại \(C\) với đường tròn cắt \(AB,AD\) kéo dài lần lượt tại \(E,F\). Tiếp tuyến tại \(D\) với \(\left( O \right)\) cắt \(EF\) tại \(I.\)

a) Chứng minh: tứ giác \(OCID\) nội tiếp

b) Chứng minh: \(AB.AE = AD.AF\)

c) Chứng minh: \(I\) là trung điểm của \(CF\)

d) Tính diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây \(AD\) và cung nhỏ \(AD\), biết \(AB = 6\) và \(AD = 6\sqrt 3 \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556476

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

c) \(\left\{ \begin{array}{l}IF = ID\\IC = ID\end{array} \right. \Rightarrow IF = IC\)

Mà \(I \in CF\), nên \(I\) là trung điểm của \(CF\)

d) + Tính \({S_{\Delta ABD}}\), tìm tỉ số của \(\dfrac{{{S_{\Delta AOD}}}}{{{S_{\Delta ABD}}}} \Rightarrow {S_{\Delta AOD}}\)

+ Tính \(R\), tính \(\angle AOD\)

+ \({S_{qAOD}} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\) với \(n\) là số đo góc \(\angle AOD\)

+ Vậy diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây \(AD\) và cung nhỏ \(AD\) là: \(S = {S_{qAOD}} - {S_{\Delta AOD}}\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh: tứ giác \(OCID\) nội tiếp

\(DI\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right) \Rightarrow \angle ODI = {90^0}\)

\(CI\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right) \Rightarrow \angle OCI = {90^0}\)

Tứ giác \(OCID\) có: \(\angle ODI + \angle OCI = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà \(\angle ODI,\angle OCI\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow OCID\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Chứng minh: \(AB.AE = AD.AF\)

\(ABCD\) là hình chữ nhật (gt) \( \Rightarrow \angle ADC = \angle ABC = {90^0}\)

\( \Rightarrow CD \bot AF;CB \bot AE\)

+ \(\Delta ACE\) vuông tại \(C,\) đường cao \(CB\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(A{C^2} = AB.AE\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+ \(\Delta ACF\) vuông tại \(C\), đường cao \(CD\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(A{C^2} = AD.AF\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra \(AB.AE = AD.AF\)

c) Chứng minh: \(I\) là trung điểm của \(CF\)

+ \(ABCD\) là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow OC = OD\)

\( \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại \(O \Rightarrow \angle ODC = \angle OCD\) (3)

+ Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle FDI + \angle IDC = \angle FDC = {90^0}\\\angle ODC + \angle IDC = \angle ODI = {90^0}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle FDI = \angle ODC\) (cùng phụ với \(\angle IDC\)) (4)

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle AFC + \angle FAC = \angle ACF = {90^0}\\\angle ACD + \angle DAC = \angle ADC = {90^0}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle AFC = \angle ACD\) (cùng phụ với \(\angle FAC\)) (5)

Từ (3), (4) và (5), suy ra \(\angle AFC = \angle FDI \Rightarrow \Delta DIF\) cân tại \(I \Rightarrow IF = ID\)

Xét \(\left( O \right):CI,DI\) là tiếp tuyến của đường tròn \( \Rightarrow IC = ID\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IF = ID\\IC = ID\end{array} \right. \Rightarrow IF = IC\)

Mà \(I \in CF\)

Vậy \(I\) là trung điểm của \(CF\).

d) Tính diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây \(AD\) và cung nhỏ \(AD\), biết \(AB = 6\) và \(AD = 6\sqrt 3 \).

+ Gọi diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây \(AD\) và cung nhỏ \(AD\) là \(S\)

+ Kẻ \(OH \bot AD\left( {H \in AD} \right)\)

\(\Delta ABD\) có: \(O\) là trung điểm của \(BD\)

\(OH//AB\) (vì cùng vuông góc với \(AD\))

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AD\)

\( \Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}AB\)

Ta có: \(\dfrac{{{S_{\Delta AOD}}}}{{{S_{\Delta ABD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}OH.AD}}{{\dfrac{1}{2}AB.AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {S_{\Delta AOD}} = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta ABD}}\)

Mà \({S_{\Delta ABD}} = \dfrac{1}{2}AB.AD = \dfrac{1}{2}.6.6\sqrt 3 = 18\sqrt 3 \)

Do đó, \({S_{\Delta AOD}} = 9\sqrt 3 \)

+ \(\Delta ABD\) vuông tại \(A,\) theo định lý Py – ta – go, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,B{D^2} = A{D^2} + A{B^2}\\ \Leftrightarrow B{D^2} = {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} + {6^2}\\ \Leftrightarrow B{D^2} = 144\\ \Rightarrow BD = 12\end{array}\)

\( \Rightarrow R = OD = \dfrac{1}{2}BD = 6\)

\(\Delta ABD\) vuông tại \(A\), áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có:

\(\tan \angle ADB = \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{6}{{6\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \angle ADB = {30^0}\)

\(\Delta AOD\) cân tại \(O\left( {OA = OD = R} \right) \Rightarrow \angle DAO = \angle ADO = {30^0}\)

Mặt khác, có: \(\angle ADO + \angle DAO + \angle AOD = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AOD = {180^0} - {2.30^0}\\ \Rightarrow \angle AOD = {120^0}\end{array}\)

\({S_{qAOD}} = \dfrac{{\pi {{.6}^2}.120}}{{360}} = 12\pi \)

+ Vậy diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây \(AD\) và cung nhỏ \(AD\) là: \(S = {S_{qAOD}} - {S_{\Delta AOD}} = 12\pi - 9\sqrt 3 \)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link