Cho phương trình: \({x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + {m^2} + 3m + 2 = 0\) (1) (\(m\)

Câu hỏi số 556475:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + {m^2} + 3m + 2 = 0\) (1) (\(m\) là tham số)

a) CMR: phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm \(m\) để \(x_1^2 + x_2^2 = 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556475

Phương pháp giải

a) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \Leftrightarrow \Delta > 0,\forall m\)

b) Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) , thay vào phương trình \(x_1^2 + x_2^2 = 1\) để tìm \(m\)

Biến đổi \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)

Giải chi tiết

a) CMR: phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Ta có: \(\Delta = {\left[ { - \left( {2m + 3} \right)} \right]^2} - 4\left( {{m^2} + 3m + 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} - 12m - 8\\ = 1\end{array}\)

Vì \(\Delta = 1 > 0,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm \(m\) để \(x_1^2 + x_2^2 = 1\).

Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\)

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 3\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m + 2\end{array} \right.\)

Theo giả thiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {2m + 3} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 3m + 2} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 2{m^2} - 6m - 4 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 6m + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m + 2m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link