Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có \(A'B = 4a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BB'\,\)và \(CM =

Câu hỏi số 558349:

Vận dụng

Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có \(A'B = 4a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BB'\,\)và \(CM = a\sqrt 2 \). Biết khoảng cách giữa \(A'B\) và \(CM\) bằng \(a\) và góc tạo bởi hai đường thẳng \(A'B\) và \(CM\) là \({30^o}\)(tham khảo hình bên), thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

A. \(2\sqrt 2 {a^3}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{2}\)

C. \(6\sqrt 2 {a^3}\)

D. \(\dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:558349

Phương pháp giải

Gọi \(N\) là trung điểm của \(A'B'\), khi đó: \(NM//A'B'\)

\(\angle \left( {A'B,CM} \right) = \angle \left( {NM,CM} \right) = {30^o}\)

\(d\left( {A'B,CM} \right) = d\left( {A'B,\left( {CMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {CMN} \right)} \right)\)

Chú ý: Với khối lăng trụ tam giác có thể tích V nếu lấy 4 đỉnh bất kì từ 6 đỉnh (để tạo thành tứ diện) thì thể tích \({V_{\left( 4 \right)}} = \dfrac{V}{3}\), nếu lấy 5 điểm bất kì tạo thành khối đa diện có thể tích \({V_{\left( 5 \right)}} = \dfrac{{2V}}{3}\)

Giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm của \(A'B'\), khi đó: \(NM//A'B'\)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}MN = \dfrac{{AB}}{2} = 2a\\\angle \left( {A'B,CM} \right) = \angle \left( {NM,CM} \right) = {30^o}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {S_{CMN}} = \dfrac{1}{2}MN.CM.\sin \left( {NM,CM} \right) = {30^o}\)

Ta có: \(d\left( {A'B,CM} \right) = d\left( {A'B,\left( {CMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {CMN} \right)} \right) = a\)

Khi đó: \({V_{B.CMN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {B,\left( {CMN} \right)} \right).{S_{CMN}} = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\left( * \right)\)

Ta có: \({S_{BMN}} = \dfrac{1}{2}{S_{BNB'}} = \dfrac{1}{4}{S_{A'BB'}} \Rightarrow {V_{B.CMN}} = {V_{C.BMN}} = \dfrac{1}{4}{S_{C.A'BB'}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}}\)

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = 12{V_{B.CMN}} = 12.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = 2\sqrt 2 {a^3}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.