Cho \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) cố định bên ngoài \(\left( O \right)\). Qua \(A\) kẻ đường
Cho \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) cố định bên ngoài \(\left( O \right)\). Qua \(A\) kẻ đường thẳng \(d\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(M,N\left( {AM < AN} \right)\). Kẻ tiếp tuyến \(AB,AC\) tới \(\left( O \right),\left( {B,C} \right.\) là hai tiếp điểm và \(B\) thuộc cung lớn \(\left. {MN} \right)\). Gọi \(H\) là giao điểm \(AO\) và \(BC.\)
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp và \(AH\) vuông góc \(BC\).
b) Chứng minh \(\Delta AMC\) và \(\Delta ACN\) đồng dạng.
c) Chứng minh: \(AH.AO = AM.AN\) và \(HC\) là phân giác của góc \(MHN\).
Quảng cáo
a) + Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
+ \(AO\) là đường trung trực của \(BC \Rightarrow AH \bot BC\)
b) \(\Delta AMC \sim \Delta ACN\left( {g.g} \right)\)
c) + Từ chứng minh b) suy ra \(AM.AN = A{C^2}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\Delta AOC\), có \(AH.AO = A{C^2}\)
Từ đó, ta có điều phải chứng minh.
+ Tứ giác \(OHMN\) nội tiếp
Chứng minh:\(\angle OHN = \angle AHM\)
\( \Rightarrow \angle NHC = \angle CHM\)
\( \Rightarrow \) Điều phải chứng minh.
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp và \(AH\) vuông góc \(BC\).
* Tứ giác \(ABOC\) nội tiếp
Xét \(\left( O \right):\)
\(AB\) là tiếp tuyến tại \(B \Rightarrow OB \bot AB \Rightarrow \angle OBA = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
\(AC\) là tiếp tuyến tại \(C \Rightarrow OC \bot AC \Rightarrow \angle ACO = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
Xét tứ giác \(ABOC\) có: \(\angle OBA + \angle OCA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà \(\angle OBA,\angle OCA\) là hai góc đối nhau
\( \Rightarrow ABOC\) là tứ giác nội tiếp.
* \(AH \bot BC\)
Xét \(\left( O \right):AB,AC\) là tiếp tuyến của đường tròn\( \Rightarrow AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà \(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC\) (tính chất đường trung trực)
\( \Rightarrow AO \bot BC\)
Mà \(AO \cap BC = \left\{ H \right\}\)
Do đó, \(AH \bot BC\)
b) Chứng minh \(\Delta AMC\) và \(\Delta ACN\) đồng dạng.
Xét \(\left( O \right):\angle ACM = \angle ANC\) (góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(CM\))
Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta ACN\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle NAC\,\,\,chung\\\angle ACM = \angle ANC\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AMC \sim \Delta ACN\left( {g.g} \right)\)
c) Chứng minh: \(AH.AO = AM.AN\) và \(HC\) là phân giác của góc \(MHN\).
* \(AH.AO = AM.AN\)
Ta có: \(\Delta AMC \sim \Delta ACN\left( {cmt} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{AN}}\\ \Rightarrow AM.AN = A{C^2}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
\(\Delta ACO\) vuông tại \(C\), đường cao \(CH\left( {do\,\,AH \bot BC\left( {cmt} \right)} \right)\), ta có:
\(A{C^2} = AH.AO\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Từ (1) và (2), suy ra \(AH.AO = AM.AN\)
* \(HC\) là phân giác của góc \(MHN\).
Ta có: \(AH.AO = AM.AN \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AN}} = \dfrac{{AM}}{{AO}}\)
Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta ANO\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle OAN\,\,\,chung\\\dfrac{{AH}}{{AN}} = \dfrac{{AM}}{{AO}}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AHM \sim \Delta ANO\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle AHM = \angle ANO\) (hai góc tương ứng)
Tứ giác \(OHMN\) có: \(\angle AHM = \angle ANO\left( {cmt} \right)\) (3)
\( \Rightarrow OHMN\) là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)
\( \Rightarrow \angle OHN = \angle OMN\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(ON\)) (4)
\(\Delta OMN\) cân tại \(O\left( {do\,\,ON = OM = R} \right) \Rightarrow \angle ONM = \angle OMN\) (5)
Từ (3), (4) và (5), suy ra \(\angle OHN = \angle AHM\)
Ta có: \(\angle OHC = \angle AHC = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle OHN + \angle NHC = \angle CHM + \angle MHA = {90^0}\)
Mà \(\angle OHN = \angle AHM\left( {cmt} \right)\)
Suy ra, \(\angle NCH = \angle CHM\)
\( \Rightarrow HC\) là phân giác của \(\angle MHN\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
