Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( 0

Câu hỏi số 559480:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 3\) và \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} \) bằng

A. \( - \dfrac{4}{3}\)

B. \(\dfrac{2}{3}\)

C. \(\dfrac{5}{3}\)

D. \( - \dfrac{{10}}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559480

Giải chi tiết

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)

Từ \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2,\forall x \in \mathbb{R}{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Thay \(x = 0\) vào (1) ta được \(f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right) = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 2 - f\left( 0 \right) = 2 - 3 = - 1\)

Xét \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).

Đặt \(x = 2 - t \Rightarrow dx = - dt,\) đồi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = - \int\limits_2^0 {f\left( {2 - t} \right)dt} = \int\limits_0^2 {f\left( {2 - t} \right)dt} \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} \)

\(I = \int\limits_2^0 {f(2 - t)dt} = \int\limits_0^2 {f(2 - t)dt} \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {f(2 - x)dx} \)

Do đó ta có \(\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right)} \right)} dx = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right)dx} \)\( \Leftrightarrow 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{8}{3} \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{4}{3}\).

Vậy \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2\left( { - 1} \right) - \dfrac{4}{3} = - \dfrac{{10}}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.