Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {\dfrac{{\sqrt

Câu hỏi số 559479:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {\dfrac{{\sqrt {2{x^2} + mx + 1} }}{{x + 2}}} \right) + \sqrt {2{x^2} + mx + 1} = x + 2\) có hai nghiệm thực phân biệt?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559479

Giải chi tiết

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + mx + 1 > 0}\end{array}\end{array} \right.\)

Phương trình ban đầu tương đương

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {\dfrac{{\sqrt {2{x^2} + mx + 1} }}{{x + 2}}} \right) + \sqrt {2{x^2} + mx + 1} = x + 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {2{x^2} + mx + 1} + \sqrt {2{x^2} + mx + 1} = {\log _2}\left( {x + 2} \right) + x + 2\end{array}\)

\( \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {2{x^2} + mx + 1} } \right) = f\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) với \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên (1) \( \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + mx + 1} = x + 2\)

Từ đó \(\left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\2{x^2} + mx + 1 = {\left( {x + 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\{x^2} + \left( {m - 4} \right)x - 3 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Để có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiêm phân biệt \({x_1},{x_2}\) lớn \( - 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta = {{\left( {m - 4} \right)}^2} + 12 > 0}\\{\left( {{x_1} + 2} \right) + \left( {{x_2} + 2} \right) > 0}\\{\left( {{x_1} + 2} \right).\left( {{x_2} + 2} \right) > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{R}\\{x_1} + {x_2} + 4 = 0\\{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{R}\\4 - m + 4 > 0\\ - 3 + 2\left( {4 - m} \right) + 4 > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 8\\m < \dfrac{9}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \dfrac{9}{2}\) mà \(m \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.