Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{4}(b+1)(c+1))}+\frac{1}{b^{4}(c+1)(a+1)}+\frac{1}{c^{4}(a+1)(b+1)}\geq \frac{3}{4}$

Câu 55962: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{4}(b+1)(c+1))}+\frac{1}{b^{4}(c+1)(a+1)}+\frac{1}{c^{4}(a+1)(b+1)}\geq \frac{3}{4}$

A. Click để xem đáp án.

Câu hỏi : 55962

Quảng cáo

Đáp án : A
(6) bình luận (1) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt x= $\frac{1}{a}$ , y = $\frac{1}{b}$ , z = $\frac{1}{c}$ . Khi đó, VT (1) = $\frac{x^{3}}{(y+1)(z+1)}+\frac{y^{3}}{(z+1)(x+1)}+\frac{z^{3}}{(x+1)(y+1)}$

Theo Cô si ta có: $\frac{x^{3}}{(y+1)(z+1)}+\frac{y+1}{8}+\frac{z+1}{8}\geq \frac{3x}{4}$

$\frac{y^{3}}{(x+1)(x+1)}+\frac{z+1}{8}+\frac{x+1}{8}\geq \frac{3y}{4}$

$\frac{z^{3}}{(y+1)(x+1)}+\frac{y+1}{8}+\frac{x+1}{8}\geq \frac{3z}{4}$

Cộng các BĐT trên vế với vế ta được VT (1) ≥ $\frac{x+y+z}{2}-\frac{3}{4}$

Mặt khác abc = 1 nên xyz = 1 do đó x+y+z ≥ 3 $\sqrt[3]{xyz}$ =3 nên từ đó suy ra đpcm

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

- Lời giải thành viên :
  
  Vũ Thiên
  
  Thích Bình luận (0) 0 Tỉ lệ đúng 84%

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.