Cho hàm số y = x³ + 3x² + mx + 1 có đồ thị là (C_m); ( m là tham số)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.

2. Xác định m để (C_m) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C_m) tại D và E vuông góc với nhau.

Câu 56121: Cho hàm số y = x³ + 3x² + mx + 1 có đồ thị là (C_m); ( m là tham số)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.

2. Xác định m để (C_m) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C_m) tại D và E vuông góc với nhau.

A. m=-1

B. m = $\frac{9-\sqrt{65}}{8}$

C. m = $\frac{9+\sqrt{65}}{8}$

D. m=1

Câu hỏi : 56121

Quảng cáo

Đáp án : B
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
1. Khảo sát (học sinh tự giải)

2. Tìm m

Phương trình hoành độ giao điểm của (C_m) và đường thẳng y = 1 là:

x³ + 3x² + mx + 1 = 1 <=> x(x² + 3x + m) = 0 (1)

<=> $\begin{bmatrix} x=0\\ x^{2}+3x+m=0(2) \end{matrix}$

(Cm) cắt đt y=1 tại 3 điểm pb<=>(1) có 3 nghiệm pb<=> Phương trình (2) có 2 nghiệm x_D, x_E≠ 0.

<=> $\left\{\begin{matrix} \Delta =9-4m>0\\ 0^{2}+3.0+m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ m<\frac{4}{9} \end{matrix}\right.$ (*)

Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:

k_D=y’(x_D)=3x²_D+6x_D+m =-(3x_D+2m);

k_E=y’(x_E)= 3x²_E+6x_E+ m =-(3x_E+2m).

Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: k_Dk_E = –1

(3x_D + 2m)(3x_E + 2m) =-1

9x_Dx_E+6m(x_D + x_E) + 4m² = –1

<=> 9m + 6m(–3) + 4m² = –1 (vì x_D + x_E = –3; x_Dx_E = m theo định lý Viet).

<=> 4m² – 9m + 1 = 0 <=> $\begin{bmatrix} m=\frac{9+\sqrt{65}}{8}\\ m=\frac{9-\sqrt{65}}{8} \end{matrix}$ 

 Kết hợp (*) suy ra: m = $\frac{9-\sqrt{65}}{8}$

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.