Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác đều cạnh

Câu hỏi số 560755:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác đều cạnh \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) biết rằng mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với đáy một góc \({30^0}\).

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\).

B. \(\dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

C. \(2\sqrt 3 {a^3}\).

D. \(\dfrac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560755

Phương pháp giải

- Gọi H là trung điểm của AD, chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) .

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng: Tam giác SAD đều, tính SH.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính HM.

- Tính \({S_{ABCD}}\) và tính \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AD \( \Rightarrow SH \bot AD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AD\\SH \subset \left( {SAD} \right),\,\,SH \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Tam giác SAD đều cạnh 2a\( \Rightarrow SH = \dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\HM \bot BC\\SM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \)\(\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SMH = {30^0}\).

Tam giác \(SHM\) vuông tại \(H \Rightarrow HM = \dfrac{{SH}}{{\tan {{30}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}} = 3a\) = AB.

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AD.AB = 2a.3a = 6{a^2}\) .

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .6{a^2} = 2\sqrt 3 {a^3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.