Cho \(F\left( x \right) = - x{e^x}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right){e^{2x}}\). Tìm họ

Câu hỏi số 560754:

Vận dụng

Cho \(F\left( x \right) = - x{e^x}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right){e^{2x}}\). Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right){e^{2x}}\).

A. \(\left( {x - 2} \right){e^x} + C\).

B. \(2\left( {1 - x} \right){e^x} + C\).

C. \(\left( {x - 1} \right){e^x} + C\).

D. \(\dfrac{{1 - x}}{2}{e^x} + C\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560754

Phương pháp giải

- Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Tìm f(x).

- Tính\(f'\left( x \right){e^{2x}}\).

- Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần để tính \(\int {f'\left( x \right){e^{2x}}} dx\) .

Giải chi tiết

Vì \(F\left( x \right) = - x{e^x}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right){e^{2x}}\).

\( \Rightarrow F'\left( x \right) = {\left( { - x{e^x}} \right)^\prime } = f\left( x \right){e^{2x}} \Leftrightarrow - {e^x} - x{e^x} = f\left( x \right){e^{2x}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{{1 + x}}{{{e^x}}}\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{ - {e^x} + \left( {1 + x} \right){e^x}}}{{{e^{2x}}}} = \dfrac{{x{e^x}}}{{{e^{2x}}}}\). Khi đó \(f'\left( x \right){e^{2x}} = \dfrac{{x{e^x}}}{{{e^{2x}}}}.{e^{2x}} = x{e^x}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {f'\left( x \right){e^{2x}}} dx = \int {x{e^x}} dx = \int x d\left( {{e^x}} \right)\\\,\, = x{e^x} - \int {{e^x}} dx = x{e^x} - {e^x} + C = \left( {x - 1} \right){e^x} + C\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.