Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2} - 9 - 12i} \right|\) =3 và \(\left| {{z_1}

Câu hỏi số 560988:

Vận dụng cao

Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2} - 9 - 12i} \right|\) =3 và \(\left| {{z_1} - 3 - 20i} \right| = 7 - \left| {{z_2}} \right|\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + 2{z_2} + 12 - 15i} \right|\). Khi đó giá trị \({M^2} - {m^2}\) bằng

A. 220

B. 223.

C. 224

D. 225 .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560988

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải.

Giải chi tiết

Đặt \({\rm{w}} = {z_1} - 9 - 12i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {w - {z_2}} \right| = 3\\\left| {w + 6 - 8i} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 7\end{array} \right.\)

Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức w và \({z_2}\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = 3\\AM + OB = 7\end{array} \right.\) với điểm M(-6;8).

\( \Rightarrow AB + AM + OB = 10 = OM\). Suy ra A, B thuộc đoạn OM.

Suy ra \(\overrightarrow {OA} = x\overrightarrow {OM} = ( - 6x;8x)\) và \(\overrightarrow {OB} = y\overrightarrow {OM} = ( - 6y;8y)\)với \(x,y \in \left[ {0;1} \right]\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{w}} = - 6x + 8xi\\{z_2} = - 6y + 8yi\end{array} \right.\)với \(x,y \in \left[ {0;1} \right]\)

Khi đó \(P = \left| { - 6x + 8xi - 12y + 16yi + 21 - 3i} \right|\)

Hay \(P = \sqrt {{{( - 6x - 12y + 21)}^2} + {{(8x + 16y - 3)}^2}} \). Đặt \(t = x + 2y,t \in \left[ {0;3} \right]\)

Khi đó \(P = \sqrt {100{t^2} - 300t + 450} \)

Khảo sát hàm số \(f(t) = 100{t^2} - 300t + 450\)trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(t) = f(0) = 450\\\mathop {\mathop {min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}\limits_{} = 225\end{array} \right.\)

Từ đó suy ra \(M = \sqrt {450} ,\,\,\,m = 15\). Vậy \({M^2} - {m^2} = 225.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.