Cho hàm số f(x) thỏa mãn . và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\). Tính giá trị của \(T =

Câu hỏi số 560987:

Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) thỏa mãn . và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\). Tính giá trị của \(T = {f^2}\left( 2 \right)\).

A. \(\dfrac{{43}}{{30}}\) .

B. \(\dfrac{{16}}{{15}}\).

C. \(\dfrac{{43}}{{15}}\).

D. \(\dfrac{{26}}{{15}}\) .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560987

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {f'(x)} \right)^2} + f(x).f''(x) = {x^3} - 2x\\ \Leftrightarrow \left[ {f(x).f'(x)} \right]' = {x^3} - 2x\\ \Leftrightarrow f(x).f'(x) = \dfrac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + C\end{array}\)

Ta có \(f(0) = f'(0) = 1\) nên \(C = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f(x).f'(x) = \dfrac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{1}{2}{f^2}(x)} \right]' = \dfrac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{f^2}(x) = \dfrac{{{x^5}}}{{20}} - \dfrac{{{x^2}}}{3} + x + {C_1}\end{array}\)

Ta có \(f(0) = 1\) nên \({C_1} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{2}{f^2}(x) = \dfrac{{{x^5}}}{{20}} - \dfrac{{{x^2}}}{3} + x + \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {f^2}(x) = \dfrac{{{x^5}}}{{10}} - \dfrac{{2{x^3}}}{3} + 2x + 1\).

Vậy \({f^2}(2) = \dfrac{{43}}{{15}}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.