Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 1 - 2i} \right| = 2\) và \(\left| {\overline z + 4}

Câu hỏi số 561414:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 1 - 2i} \right| = 2\) và \(\left| {\overline z + 4} \right| + \left| {z - 4} \right| = 10\)?

A. 4

B. 2

C. 1

D. 0

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561414

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|;\,\,\overline {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} } = {z_1} + {z_2}\) .

Giải chi tiết

Áp dụng các tính chất \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|;\,\,\overline {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} } = {z_1} + {z_2}\) ta có \(\left| {\overline z + 4} \right| = \left| {\overline {\overline z + 4} } \right| = \left| {\overline {\overline z } + \overline 4 } \right| = \left| {z + 4} \right|\).

Khi đó \(\left| {\overline z + 4} \right| + \left| {z - 4} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {z + 4} \right| + \left| {z - 4} \right| = 10\).

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của \(z\), \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\)\(;{F_2}\left( {4;0} \right)\).

+) \(\left| {z - 1 - 2i} \right| = 2 \Rightarrow \) \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {1;2} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).

+) \(\left| {z - 4} \right| + \left| {z + 4} \right| = 10 \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 10 \Rightarrow \) \(M\) thuộc đường elip \(\left( E \right)\) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\)\(;{F_2}\left( {4;0} \right)\) và có độ dài trục lớn là \(10\).

Elip \(\left( E \right)\) có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Do đó, \(M\) là giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( E \right)\). Ta có hình vẽ sau:

Từ hình vẽ của \(\left( C \right)\) và \(\left( E \right)\) ta thấy chúng có \(2\) giao điểm nên có \(2\) số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.