Một cái bình thủy tinh có phần không gian bên trong là một hình nón có đỉnh hướng xuống

Câu hỏi số 561415:

Vận dụng

Một cái bình thủy tinh có phần không gian bên trong là một hình nón có đỉnh hướng xuống dưới theo chiều thẳng đứng. Rót nước vào bình cho đến khi phần không gian trống trong bình có chiều cao 2 cm. Sau đó đậy kín miệng bình bởi một cái nắp phẳng và lật ngược bình để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng, khi đó mực nước cao cách đỉnh của nón 8 cm (hình vẽ minh họa bên dưới).

Biết chiều cao của nón là \(h = a + \sqrt b \)cm. Tính \(T = a + b\).

A. 58

B. 22

C. 86

D. 72

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561415

Phương pháp giải

- Gọi phần không gian bên trong bình thủy tinh có thể tích \(V\), chiều cao bán kính tương ứng là \(h,\,\,r\).

phần không chứa nước khi đặt bình có đỉnh hướng lên có thể tích \({V_1}\), chiều cao bán kính tương ứng là \({h_1},\,\,{r_1}\).

phần chứa nước khi đặt bình có đỉnh hướng xuống có thể tích \({V_2}\), chiều cao bán kính tương ứng là \({h_2},\,\,{r_2}\).

- Sử dụng định lí Ta-lét tìm các tỉ số \(\dfrac{V}{{{V_1}}},\,\,\dfrac{V}{{{V_2}}}\), từ đó tính \({V_1},\,\,{V_2}\) theo V.

- Giải phương trình \({V_1} + {V_2} = V\) tìm h.

Giải chi tiết

Gọi phần không gian bên trong bình thủy tinh có thể tích \(V\), chiều cao bán kính tương ứng là \(h,\,\,r\).

phần không chứa nước khi đặt bình có đỉnh hướng lên có thể tích \({V_1}\), chiều cao bán kính tương ứng là \({h_1},\,\,{r_1}\).

phần chứa nước khi đặt bình có đỉnh hướng xuống có thể tích \({V_2}\), chiều cao bán kính tương ứng là \({h_2},\,\,{r_2}\).

Ta có: \(\dfrac{h}{8} = \dfrac{r}{{{r_1}}} \Rightarrow \dfrac{V}{{{V_1}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h}}{{\dfrac{1}{3}\pi r_1^2{h_1}}} = {\left( {\dfrac{h}{8}} \right)^3} = \dfrac{{{h^3}}}{{{8^3}}} \Rightarrow {V_1} = \dfrac{{512V}}{{{h^3}}}\).

Chứng minh tương tự ta có: \(\dfrac{V}{{{V_2}}} = \dfrac{{{h^3}}}{{{{\left( {h - 2} \right)}^3}}} \Rightarrow {V_2} = \dfrac{{{{\left( {h - 2} \right)}^3}V}}{{{h^3}}}\).

Mà \({V_1} + {V_2} = V\) nên ta có: \(\dfrac{{512V}}{{{h^3}}} + \dfrac{{{{\left( {h - 2} \right)}^3}V}}{{{h^3}}} = V\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 512 + {h^3} - 6{h^2} + 12h - 8 = {h^3}\\ \Leftrightarrow {h^2} - 2h - 84 = 0 \Rightarrow h = 1 + \sqrt {85} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 85\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(T = a + b = 1 + 85 = 86\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.