Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và

Câu hỏi số 561413:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCA} \right)\) và \(\left( {SCB} \right)\) bằng \({60^0}\). Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn \(AB\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

A. Không tồn tại hình chóp đã cho.

B. Thể tích khối chóp \(S.AHC\) bằng \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{64}}\).

C. Thể tích khối chóp \(B.SHC\) bằng \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}\).

D. Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561413

Phương pháp giải

- Chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

- Kẻ \(AK \bot SC\). Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Chia 2 TH: góc bằng \({60^0}\) và góc bằng \({180^0} - {60^0} = {120^0}\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính KH.

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính SH. Từ đó tính thể tích.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\\AB \bot CH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SCH} \right)\) \( \Rightarrow AB \bot SC\).

Kẻ \(AK \bot SC\) \( \Rightarrow SC \bot \left( {AKB} \right)\)\( \Rightarrow SC \bot KB\).

\( \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {KA,KB} \right) = {60^0}\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\angle AKB = {60^0}\\\angle AKB = {120^0}\end{array} \right.\).

Ta có: \(\Delta SAC = \Delta SBC\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow AK = BK \Rightarrow \Delta ABK\) cân tại K.

+) TH1: \(\angle AKB = {60^0}\).

Khi đó \(\Delta KAB\)đều \( \Rightarrow KA = KB = AB = AC\) (vô lí).

+) TH2: \(\angle AKB = {120^0}\)

Khi đó \(\Delta KAB\) cân tại \(K\) và \(\angle AKH = {60^0}\) \( \Rightarrow KH = \dfrac{{AH}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}\).

Trong \(\Delta SHC\) vuông tại \(H\) ta có \(\dfrac{1}{{K{H^2}}} = \dfrac{1}{{H{C^2}}} + \dfrac{1}{{S{H^2}}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{12}}{{{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{S{H^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{{32}}{{3{a^2}}} \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{8}\).

Vậy \({V_{S.AHC}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{\Delta AHC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{8}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{64}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.