Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (C) của hàm số \(y =

Câu hỏi số 561416:

Vận dụng

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (C) của hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 5\) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm tích các phần tử của S.

A. \(2\).

B. \( - 2\).

C. \(\dfrac{1}{5}\).

D. \(\dfrac{{ - 1}}{5}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561416

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

- Giải phương trình \(y' = 0\) và xác định 3 điểm cực trị A, B, C của đồ thị hàm số.

- Nhận xét: B, C đối xứng nhau qua trục Oy, \(A \in Oy\). Do tính chất đối xứng ta có \(\angle B = \angle C\).

- Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Để OBAC là tứ giác nội tiếp thì \(\angle B + \angle C = {180^0}\).

- Chứng minh \(OB \bot AB\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AB} = 0\). Giải phương trình tích vô hướng trên tìm m.

Giải chi tiết

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x\). Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2}\end{array} \right.\).

Để hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 5\) có ba điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có ba nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow {m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = {m^4} + 5\\x = \sqrt m \Rightarrow y = 5\\x = - \sqrt m \Rightarrow y = 5\end{array} \right.\).

Ba điểm cực trị là \(A\left( {0;{m^4} + 5} \right)\), \(B\left( {m;5} \right)\), \(C\left( { - m;5} \right)\).

Dễ thấy B, C đối xứng nhau qua trục Oy, \(A \in Oy\). Do tính chất đối xứng ta có \(\angle B = \angle C\).

Để OBAC là tứ giác nội tiếp thì \(\angle B + \angle C = {180^0} \Rightarrow \angle B = \angle C = {90^0}\).

Khi đó \(OB \bot AB\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AB} = 0\).

Ta có : \(\overrightarrow {OB} = \left( {m;5} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( {m; - {m^4}} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AB} = 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 5{m^4} = 0 \Leftrightarrow {m^2}\left( {1 - 5{m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{m^2} = 0\) (do \(m \ne 0\))

\( \Leftrightarrow 5{m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow S = \left\{ { \pm \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right\}\).

Vậy tích các phần tử của S là \(\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}.\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) = - \dfrac{1}{5}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.