Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (C) của hàm số \(y =
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (C) của hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 5\) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm tích các phần tử của S.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.
- Giải phương trình \(y' = 0\) và xác định 3 điểm cực trị A, B, C của đồ thị hàm số.
- Nhận xét: B, C đối xứng nhau qua trục Oy, \(A \in Oy\). Do tính chất đối xứng ta có \(\angle B = \angle C\).
- Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Để OBAC là tứ giác nội tiếp thì \(\angle B + \angle C = {180^0}\).
- Chứng minh \(OB \bot AB\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AB} = 0\). Giải phương trình tích vô hướng trên tìm m.
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x\). Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2}\end{array} \right.\).
Để hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 5\) có ba điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có ba nghiệm phân biệt.
\( \Rightarrow {m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = {m^4} + 5\\x = \sqrt m \Rightarrow y = 5\\x = - \sqrt m \Rightarrow y = 5\end{array} \right.\).
Ba điểm cực trị là \(A\left( {0;{m^4} + 5} \right)\), \(B\left( {m;5} \right)\), \(C\left( { - m;5} \right)\).
Dễ thấy B, C đối xứng nhau qua trục Oy, \(A \in Oy\). Do tính chất đối xứng ta có \(\angle B = \angle C\).
Để OBAC là tứ giác nội tiếp thì \(\angle B + \angle C = {180^0} \Rightarrow \angle B = \angle C = {90^0}\).
Khi đó \(OB \bot AB\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AB} = 0\).
Ta có : \(\overrightarrow {OB} = \left( {m;5} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( {m; - {m^4}} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AB} = 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 5{m^4} = 0 \Leftrightarrow {m^2}\left( {1 - 5{m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{m^2} = 0\) (do \(m \ne 0\))
\( \Leftrightarrow 5{m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow S = \left\{ { \pm \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right\}\).
Vậy tích các phần tử của S là \(\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}.\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) = - \dfrac{1}{5}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
