Cho các số thực \(x,\,y\)thỏa mãn \(\left( {x + \sqrt {2021 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2021 +

Câu hỏi số 562003:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,\,y\)thỏa mãn \(\left( {x + \sqrt {2021 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2021 + {y^2}} } \right) = 2021\). Tính giá trị của biểu thức: \(M = {x^{2021}} + {y^{2021}} + 2022\).

A. \(2020\)

B. \(2021\)

C. \(2022\)

D. \(2023\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562003

Phương pháp giải

Thực hiện nhân liên hợp (*) với \(x - \sqrt {2021 + {x^2}} \), ta được phương trình (1)

Thực hiện nhân liên hợp (*) với \(y - \sqrt {2021 + {y^2}} \), ta được phương trình (2)

Cộng (1) và (2), ta tìm được \(x\) theo \(y\)

Thay vào \(M\) và tính.

Giải chi tiết

\(\left( {x + \sqrt {2021 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2021 + {y^2}} } \right) = 2021\) (*)

Thực hiện nhân liên hợp (*) với \(x - \sqrt {2021 + {x^2}} \), ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x + \sqrt {2021 + {x^2}} } \right)\left( {x - \sqrt {2021 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2021 + {y^2}} } \right) = 2021\left( {x - \sqrt {2021 + {x^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2021 - {x^2}} \right)\left( {y + \sqrt {2021 + {y^2}} } \right) = 2021\left( {x - \sqrt {2021 + {x^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow - 2021\left( {y + \sqrt {2021 + {y^2}} } \right) = 2021\left( {x - \sqrt {2021 + {x^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow - y - \sqrt {2021 + {y^2}} = x - \sqrt {2021 + {x^2}} \,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Thực hiện nhân liên hợp (*) với \(y - \sqrt {2021 + {y^2}} \), ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x + \sqrt {2021 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2021 + {y^2}} } \right)\left( {y - \sqrt {2021 + {y^2}} } \right) = 2021\left( {y - \sqrt {2021 + {y^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {2021 + {x^2}} } \right)\left( {{y^2} - 2021 - {y^2}} \right) = 2021\left( {y - \sqrt {2021 + {y^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow - 2021\left( {x + \sqrt {2021 + {x^2}} } \right) = 2021\left( {y - \sqrt {2021 + {y^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow - x - \sqrt {2021 + {x^2}} = y - \sqrt {2021 + {y^2}} \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Cộng (1) và (2), ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\, - y - x = x + y\\ \Leftrightarrow - 2y = 2x\\ \Leftrightarrow x = - y\end{array}\)

\(\begin{array}{l}M = {x^{2021}} + {y^{2021}} + 2022\\M = {\left( { - y} \right)^{2021}} + {y^{2021}} + 2022\\M = - {y^{2021}} + {y^{2021}} + 2022\\M = 2022\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link