Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và

Câu hỏi số 564962:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn các điều kiện \(f\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \mathbb{R},\,f\left( 0 \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = - 4{x^3}{\left( {f\left( x \right)} \right)^2},\,\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {{x^3}.f\left( x \right)\,} dx\).

A. \(I = \dfrac{{\ln 2}}{4}\).

B. \(I = \ln 2\).

C. \(I = \dfrac{1}{4}\).

D. \(I = \dfrac{1}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564962

Phương pháp giải

Xác định hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Tính \(I = \int\limits_0^1 {{x^3}.f\left( x \right)\,} dx\).

Giải chi tiết

Do \(f\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(f'\left( x \right) = - 4{x^3}{\left( {f\left( x \right)} \right)^2},\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}}} = - 4{x^3},\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Rightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}}}} \,dx = \int {\left( { - 4{x^3}} \right)dx \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} = - {x^4} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^4} + C}}\).

Mà \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{C} = 1 \Leftrightarrow C = 1\,\, \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^4} + 1}}\).

Khi đó, \(I = \int\limits_0^1 {{x^3}.f\left( x \right)\,} dx = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}\,} dx = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{d\left( {{x^4} + 1} \right)}}{{{x^4} + 1}}\,} = \left. {\dfrac{1}{4}\ln \left| {{x^4} + 1} \right|} \right|_0^1 = \dfrac{1}{4}\ln 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.