Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), có không quá 20 số nguyên \(b\) thỏa

Câu hỏi số 570973:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), có không quá 20 số nguyên \(b\) thỏa mãn \({2^a} + {4.6^b} < {2^{a + b + 2}} + {3^b}\)?

A. 33.

B. 32.

C. 31.

D. 30.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:570973

Phương pháp giải

- Biến đổi về dạng bất phương trình tích

Giải chi tiết

Ta có: \({2^a} + {4.6^b} < {2^{a + b + 2}} + {3^b}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^a} - {3^b} + {4.2^b}{.3^b} - {4.2^a}{.2^b} < 0\\ \Leftrightarrow {2^a} - {3^b} + {4.2^b}\left( {{3^b} - {2^a}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {{2^a} - {3^b}} \right)\left( {1 - {{4.2}^b}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( I \right)\left\{ \begin{array}{l}{2^a} - {3^b} > 0\\1 - {4.2^b} < 0\end{array} \right.\\\left( {II} \right)\left\{ \begin{array}{l}{2^a} - {3^b} < 0\\1 - {4.2^b} > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^b} < {2^a}\\{2^b} > \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < a{\log _3}2\\b > - 2\end{array} \right. \Rightarrow - 2 < b < a{\log _3}2\)

Để có không quá 20 số nguyên \(b\) thỏa mãn thì \(\left\{ \begin{array}{l}a{\log _3}2 > - 2\\a{\log _3}2 \le 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > - 3,16\\a \le 30,11\end{array} \right. \Rightarrow a \in \left\{ { - 3; - 2;...30} \right\}\)

Vậy có 30 giá trị của \(a\) thỏa mãn.

\(\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^a} < {3^b}\\{4.2^b} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < b{\log _3}2\\b < - 2\end{array} \right. \Rightarrow a < - 2\) (loại)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.