Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left(

Câu hỏi số 570974:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 12\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 11 = 0\). Xét điểm \(M\) di động trên \(\left( P \right)\), các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) phân biệt di động trên \(\left( S \right)\) sao cho \(MA,\,\,MB,\,\,MC\) là các tiếp điểm của \(\left( S \right)\). Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) luôn đi qua điểm cố định nào sau đây?

A. \(E\left( {0;3; - 1} \right)\).

B. \(F\left( {\dfrac{1}{4}; - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).

C. \(G\left( {0; - 1;3} \right)\).

D. \(H\left( {\dfrac{3}{2};0;2} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:570974

Phương pháp giải

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\). Khi đó \(K\) cố định và \(IK = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 4\).

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là giao điểm của \(IK,\,\,IM\) với \(\left( {ABC} \right)\).

Chứng minh \(E\) cố định và tìm tọa độ \(E\).

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\) bán kính \(R = 2\sqrt 3 \).

Ta có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 4 > R\) nên \(\left( P \right),\,\,\left( S \right)\) không có điểm chung.

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\). Khi đó \(K\) cố định và \(IK = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 4\).

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là giao điểm của \(IK,\,\,IM\) với \(\left( {ABC} \right)\). Khi đó \(E\) là điểm cố định thuộc \(\left( {ABC} \right)\).

Ta có: \(\Delta FEI\~\Delta KMI \Rightarrow \dfrac{{FI}}{{KI}} = \dfrac{{EI}}{{MI}} \Rightarrow FI.MI = EI.KI\)

Mà \(FI.MI = A{I^2} = 12 \Rightarrow IE.IK = 12 \Rightarrow IE = 3\).

Phương trình đường thẳng \(IK\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {1 + t;1 - 2t;1 + 2t} \right)\)

Khi đó \(9 = E{I^2} = 9{t^2} \Rightarrow t = \pm 1\)

\(\begin{array}{l}t = 1 \Rightarrow E\left( {2; - 1;3} \right)\\t = - 1 \Rightarrow E\left( {0;3; - 1} \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.