Cho hình nón đỉnh \(S\), đường cao \(SO\), \(A\) và \(B\) là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao

Câu hỏi số 570972:

Vận dụng

Cho hình nón đỉnh \(S\), đường cao \(SO\), \(A\) và \(B\) là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho tam giác \(SAB\) đều; khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(\angle SAO = {30^0}\). Diện tích xung quanh của hình nón theo \(a\) bằng

A. \(\sqrt 3 \pi {a^2}\).

B. \(\dfrac{{3\sqrt 3 \pi }}{2}{a^2}\).

C. \(6\sqrt 3 \pi {a^2}\).

D. \(\dfrac{{5\sqrt 3 \pi }}{2}{a^2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:570972

Phương pháp giải

- Dựng khoảng cách \(O\) đến \(\left( {SAB} \right)\).

- Tính \(SO,\,\,OK\) theo \(SA\).

- Tính \(SA\) dựa vào khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

- Tính diện tích xung quanh hình nón.

Giải chi tiết

Gọi \(K\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot AB\\OK \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOK} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SOK} \right)\).

Kẻ \(OH \bot SK \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow OH = d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right)\).

Ta có: \(SO = SA.\sin \angle SAO \Rightarrow SO = \dfrac{{SA}}{2}\)

\(SK = SA.\sin \angle SAB \Rightarrow SK = \dfrac{{SA\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác vuông \(SOK\) ta có: \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{K^2}}} + \dfrac{1}{{O{S^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{K^2} - S{O^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{S{A^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{3S{A^2}}}{4} - \dfrac{{S{A^2}}}{4}}} = \dfrac{4}{{S{A^2}}} + \dfrac{2}{{S{A^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{6}{{S{A^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\OA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl = \pi \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.a\sqrt 2 = \sqrt 3 \pi {a^2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.