1) Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{y - 2}} =

Câu hỏi số 571480:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{y - 2}} = 4\\\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{y - 2}} = 3\end{array} \right.\)\

2) Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\)

a) Giải phương trình với \(m = 3\).

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_1^3 + x_2^3 = 3{x_1}{x_2} + 3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571480

Giải chi tiết

1) ĐK: \(x \ne - 1;y = 2\)

Đặt \(\dfrac{1}{{x + 1}} = u;\dfrac{1}{{y - 2}} = v\)

Hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3u + v = 4\\2u + v = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\3u + v = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + 1}} = 1\\\dfrac{1}{{y - 2}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 1\\y - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right.\left( {tmdk} \right)\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {0;3} \right)\)

a) \(m = 3\), ta có phương trình: \({x^2} - 3x + 2 = 0\)

\(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.2 = 1 > 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{3 - \sqrt 1 }}{2} = 1\\{x_2} = \dfrac{{3 + \sqrt 1 }}{2} = 2\end{array} \right.\)

b) \({x^2} - mx + m + 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta > 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - 4.1.\left( {m - 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow m - 2 \ne 0\\ \Leftrightarrow m \ne 2\end{array}\)

*) \(x_1^3 + x_2^3 = 3{x_1}{x_2} + 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = 3{x_1}{x_2} + 3\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = 3{x_1}{x_2} + 3\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét cho \(\left( 1 \right):\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow m\left[ {{m^2} - 3\left( {m - 1} \right)} \right] = 3\left( {m - 1} \right) + 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m\left( {{m^2} - 3m + 3} \right) = 3m - 3 + 3\\ \Leftrightarrow {m^3} - 3{m^2} + 3m = 3m\\ \Leftrightarrow {m^3} - 3{m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2}\left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 0\\m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\left( {tmdk} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = 0;m = 3\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link