Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(f\left( x \right) + f\left( {2 -

Câu hỏi số 571701:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = x{e^{{x^2}}},\forall x \in \mathbb{R}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(I = {e^4} - 1\).

B. \(I = {e^4} - 2\).

C. \(I = \dfrac{{{e^4} - 1}}{4}\).

D. \(I = \dfrac{{2e - 1}}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571701

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = x{e^{{x^2}}},\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} = \int\limits_0^2 {x{e^{{x^2}}}} dx\).

Tích phân \(J = \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} \). Đặt \(t = 2 - x \Rightarrow dt = - dx \Rightarrow \)\(J = \int\limits_2^0 {f\left( t \right)\left( { - dt} \right)} = \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt = } \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = } \,I\).

Tích phân \(\int\limits_0^2 {x{e^{{x^2}}}} dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {{e^{{x^2}}}} d{x^2} = \left. {\dfrac{1}{2}{e^{{x^2}}}} \right|_0^2 = \dfrac{1}{2}{e^4} - \dfrac{1}{2}\).

Khi đó: \(I + I = \dfrac{1}{2}{e^4} - \dfrac{1}{2}\,\, \Leftrightarrow I = \dfrac{{{e^4} - 1}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.