Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) với \(x\) và \(y\) nhận giá trị trong đoạn

Câu hỏi số 571752:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) với \(x\) và \(y\) nhận giá trị trong đoạn \(\left[ {0;2022} \right]\) sao cho \(y - x - 2 \ge 0\) và \({4.2^x} - {2^y} + 3\left( {x - y} \right) + 6 \ge 0\)?

A. \(2022\).

B. \(2021\).

C. \(2020\).

D. \(2023\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571752

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm của BPT.

Giải chi tiết

Ta có: \({4.2^x} - {2^y} + 3\left( {x - y} \right) + 6 \ge 0 \Leftrightarrow {2^{x + 2}} + 3\left( {x + 2} \right) \ge {2^y} + 3y\) (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + 3t\) có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 3 > 0,\,\forall t\,\, \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

(*) \(f\left( {x + 2} \right) \ge f\left( y \right) \Leftrightarrow x + 2 \ge y \Leftrightarrow x - y \ge - 2\).

Lại có: \(y - x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x - y \le - 2\,\, \Rightarrow x - y = - 2 \Leftrightarrow y = x + 2\).

Mà \(x,y \in \left[ {0;2022} \right];\,x,y \in \mathbb{Z}\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 2\\x \in \left\{ {0;1;2;...;2020} \right\}\end{array} \right.\). Do đó, có 2021 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn ycđb.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.