Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - \dfrac{1}{2}\) và \(y = g\left( x \right) = d{x^2}

Câu hỏi số 571751:

Vận dụng

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - \dfrac{1}{2}\) và \(y = g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 1\) trong đó \(a,b,c,d,e\) là những số thực. Biết rằng hai đồ thị đó cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng \( - 3; - 1;2\) (tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f\left( x \right)\)và \(y = g\left( x \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{125}}{{48}}\).

B. \(\dfrac{{63}}{{16}}\).

C. \(\dfrac{{253}}{{48}}\).

D. \(\dfrac{{253}}{{24}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571751

Phương pháp giải

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x),\,\,y = g(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;\,\,x = b\) được tính theo công thức : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

\(f\left( x \right) - g\left( x \right) = \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx - \dfrac{1}{2}} \right) - \left( {d{x^2} + ex + 1} \right)\)

\( = a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \dfrac{3}{2}\): là một hàm số bậc ba.

Mà hai đồ thị cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng \( - 3; - 1;2\) \( \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right)\) có 3 nghiệm \( - 3; - 1;2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = a\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow a.3.1.\left( { - 2} \right) = - \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = \dfrac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\end{array}\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 3}^2 {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \\\,\,\,\,\, = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\dfrac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)dx} - \int\limits_{ - 1}^2 {\dfrac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)dx} \\\,\,\,\,\, = \dfrac{4}{3} - \left( { - \dfrac{{63}}{{16}}} \right) = \dfrac{{253}}{{48}}\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.