Cho hai số phức \(z,w\) thoả mãn \(\left| z \right| = 7,\left| w \right| = 7\) và \(\left| {3z - 4w} \right| =

Câu hỏi số 571754:

Vận dụng cao

Cho hai số phức \(z,w\) thoả mãn \(\left| z \right| = 7,\left| w \right| = 7\) và \(\left| {3z - 4w} \right| = 35\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\left| {4z + 3w + 2022i} \right|\) bằng

A. \(2022\).

B. \(2057\).

C. \(4044\).

D. \(2071\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571754

Phương pháp giải

Đưa về bài toán cực trị hình học.

Giải chi tiết

Gọi \(A,B,A',B'\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \(z,w,3z,4w\). \( \Rightarrow O,A,A'\) thẳng hàng, \(OA' = 3.OA\) và \(O,B,B'\) thẳng hàng, \(OB' = 4.OB\).

Ta có: \(\left| z \right| = 7,\left| w \right| = 7\) và \(\left| {3z - 4w} \right| = 35 \Rightarrow OA = OB = 7,A'B' = 35\), \(OA' = 21,\,OB' = 28\).

Tam giác \(OA'B'\) có : \(O{A'^2} + O{B'^2} = {21^2} + {28^2} = {35^2} = A'{B'^2} \Rightarrow \Delta OA'B'\) vuông tại \(O\).

Gọi \({A_1},{B_1},\,C\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \(4z,\,\,3w,\,\,2021i\).

Khi đó: \(\left| {4z + 3w + 2022i} \right| = \left| {\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {OC} } \right|\).

Ta có: \(O{A_1} = 4.7 = 28,\,O{B_1} = 3.7 = 21\) và \(\Delta O{A_1}{B_1}\) vuông tại \(O\).

Dựng hình chữ nhật \(O{A_1}D{B_1}\) như hình vẽ, ta tính được \(OD = 35\).\(\left| {\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OD} } \right| = OD = 35\).

Để \(\left| {4z + 3w + 2022i} \right|\) lớn nhất thì \(\left| {\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {OC} } \right|\) lớn nhất

\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} } \right|\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \overrightarrow {OD} \) và \(\overrightarrow {OC} \) cùng hướng.

Khi đó: \({\left| {4z + 3w + 2022i} \right|_{\max }} = OC + OD = 2022 + 35 = 2057\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.