Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thoả mãn đồng thời \(1 \le x \le 2022\) và

Câu hỏi số 571952:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thoả mãn đồng thời \(1 \le x \le 2022\) và \({384.128^{{x^2} - 2x}} - {6.8^y} + 6 = 3y - 7{x^2} + 14x\)?

A. \(674\).

B. \(1348\).

C. \(1346\).

D. \(2022\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571952

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.

Đánh giá nghiệm nguyên theo tính chia hết.

Giải chi tiết

Ta có: \({384.128^{{x^2} - 2x}} - {6.8^y} + 6 = 3y - 7{x^2} + 14x\)

\( \Leftrightarrow {3.2^{7{x^2} - 14x + 7}} + 7{x^2} - 14x + 7 = {3.2^{3y + 1}} + 3y + 1\) (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3.2^t} + t\) có \(f'\left( t \right) = {3.2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t\,\, \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Khi đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {7{x^2} - 14x + 7} \right) = f\left( {3y + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 7{x^2} - 14x + 7 = 3y + 1 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{3}\left( {7{x^2} - 14x + 6} \right)\)

\( \Leftrightarrow y = 2{x^2} - 4x + 2 + \dfrac{{{x^2} - 2x}}{3}\).

Ta có: \(x \in \mathbb{Z},\,\)\(1 \le x \le 2022\). Để \(y \in \mathbb{Z}\) thì \(\dfrac{{{x^2} - 2x}}{3} = \dfrac{{x\left( {x - 2} \right)}}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \vdots 3\) hoặc \(x\) chia cho 3 dư 2.

\( \Rightarrow x \in \left\{ {3;6;9;...;2022} \right\} \cup \left\{ {2;5;8;...;2021} \right\}\): có \(674 + 674 = 1348\) giá trị.

Do đó, có 1348 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn ycđb.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.