Cho đường cong \(\left( C \right):y = {x^3} + mx + 2\) (với \(m\) là tham số thực) và parabol \(\left( P

Câu hỏi số 571953:

Vận dụng cao

Cho đường cong \(\left( C \right):y = {x^3} + mx + 2\) (với \(m\) là tham số thực) và parabol \(\left( P \right):y = - {x^2} + 2\) tạo thành hai miền phẳng có diện tích \({S_1},{S_2}\) như hình vẽ sau :

Biết \({S_1} = \dfrac{8}{3}\), giá trị của \({S_2}\) bằng

A. \(\dfrac{3}{4}\).

B. \(\dfrac{1}{4}\).

C. \(\dfrac{5}{{12}}\).

D. \(\dfrac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571953

Phương pháp giải

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x),\,\,y = g(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;\,\,x = b\) được tính theo công thức : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

Đặt \(y = {x^3} + mx + 2 = f\left( x \right)\), \(y = - {x^2} + 2 = g\left( x \right)\). Khi đó: \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + mx = x\left( {{x^2} + x + m} \right)\).

Phương trình \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = 1 - 4m > 0\\{0^2} + 0 + m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{4}\\m \ne 0\end{array} \right.\).

Khi đó, \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt là \({x_1},0,{x_2}\), trong đó: \({x_1} < {x_2}\), \({x_1} + {x_2} = - 1,\,\,{x_1}{x_2} = m\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_{{x_1}}^0 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} dx = \int\limits_{{x_1}}^0 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} dx\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_{{x_1}}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} + mx} \right)} dx = \left. {\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} + \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}m{x^2}} \right)} \right|_{{x_1}}^0\end{array}\)

\( = - \dfrac{1}{4}x_1^4 - \dfrac{1}{3}x_1^3 - \dfrac{1}{2}mx_1^2 = - \dfrac{1}{4}x_1^4 - \dfrac{1}{3}x_1^3 + \dfrac{1}{2}\left( {x_1^2 + {x_1}} \right)x_1^2\) (do \(x_1^2 + {x_1} + m = 0\))

\( = \dfrac{1}{4}x_1^4 + \dfrac{1}{6}x_1^3 = \dfrac{8}{3}\).

\( \Rightarrow {x_1} = - 2 \Rightarrow {x_2} = - 1 - {x_1} = 1 \Rightarrow m = {x_1}{x_2} = - 2\).

Khi đó: \({S_2} = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} dx = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)} dx = - \left. {\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} + \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{5}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.