Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;2;4} \right),B\left( { - 1; - 2;2} \right)\) và mặt
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;2;4} \right),B\left( { - 1; - 2;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):z - 1 = 0\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) và diện tích tam giác \(MAB\) nhỏ nhất. Tính \({a^3} + {b^3} + {c^3}\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Diện tích tam giác \(MAB\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d\left( {M;AB} \right)\) nhỏ nhất\( \Rightarrow M \in \left( P \right),\,M \in \left( S \right)\) và \(M\) thuộc mặt phẳng chứa \(AB\) và vuông góc \(\left( P \right)\).
\(M\) thuộc mp \(\left( P \right)\) sao cho tam giác \(MAB\) vuông tại \(M \Rightarrow \) \(M\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\) là giao tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính là \(AB\) và mp \(\left( P \right)\).
Ta có: \({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}.AB.d\left( {M;AB} \right)\). Mà độ dài đoạn \(AB\) không đổi. \( \Rightarrow \)\({S_{ABM}}\) nhỏ nhất khi \(d\left( {M;AB} \right)\) nhỏ nhất.
Ta thấy \(A\left( { - 1;2;4} \right),B\left( { - 1; - 2;2} \right)\) nằm về cùng một phía so với mặt phẳng \(\left( P \right):z - 1 = 0\).
Do đó: \(d\left( {I;AB} \right)\) nhỏ nhất \( \Rightarrow \) \(M\)\( \in \left( Q \right)\): mặt phẳng chứa \(AB\) và vuông góc với mp\(\left( P \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in \left( P \right)\\M \in \left( Q \right)\\M \in \left( S \right)\end{array} \right.\) (*)
+) Viết phương trình mp\(\left( Q \right)\):
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 4; - 2} \right)\).
Do \(\left( Q \right)\) chứa \(AB\) và vuông góc với mp\(\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right)\) có 1 VTPT là \( - \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = - \dfrac{1}{4}\left( { - 4;0;0} \right) = \left( {1;0;0} \right)\) (trong đó \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {0;0;1} \right)\) là một VTPT của \(\left( P \right)\)).
Phương trình mp\(\left( Q \right)\) là: \(1\left( {x + 1} \right) + 0 + 0 = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0\).
+) Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\):
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;0;3} \right)\), bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{0^2} + {4^2} + {2^2}} }}{2} = \sqrt 5 \).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 5\).
Khi đó hệ phương trình (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 0\\x + 1 = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\{y^2} = 1\\z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( { - 1;1;1} \right)\\M\left( { - 1; - 1;1} \right)\end{array} \right.\).
Ta lại thấy rằng: \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = 4 > d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2\, \Rightarrow \) \(d\left( {M;AB} \right)\) nhỏ nhất khi \(MB > MA\).
- Với \(M\left( { - 1;1;1} \right)\) ta có: \(MA = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} ,\,\,MB = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {3^2}} = \sqrt {18} \Rightarrow MB > MA\): Thỏa mãn.
- Với \(M\left( { - 1; - 1;1} \right)\) ta có: \(MA = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {3^2}} = \sqrt {18} ,\,\,MB = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \Rightarrow MB < MA\): Loại.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
