Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\)

Câu hỏi số 574638:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 3z = 0\), \(\left( Q \right):\,\,x - 2y + 3z + 4 = 0\). Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta \) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) có bán kính bằng

A. \(\dfrac{1}{7}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{7}\)

C. \(\sqrt {\dfrac{2}{7}} \)

D. \(\dfrac{2}{7}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574638

Phương pháp giải

Gọi tâm mặt cầu là \(I\left( {1 + t; - 1 + t;2t} \right) \in \Delta \).

Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) và (Q) nên \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right)\). Giải phương trình tìm t.

Tìm bán kính \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)\).

Giải chi tiết

Gọi tâm mặt cầu là \(I\left( {1 + t; - 1 + t;2t} \right) \in \Delta \).

Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) và (Q) nên \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {1 + t + 2 - 2t + 6t} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 + t + 2 - 2t + 6t + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {5t + 3} \right| = \left| {5t + 7} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t + 3 = 5t + 7\,\,\left( {VN} \right)\\5t + 3 = - 5t - 7 \Leftrightarrow t = - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là \(R = \dfrac{{\left| {1 + t + 2 - 2t + 6t} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} }} = \dfrac{{\left| {5.\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {14} }} = \dfrac{{\sqrt {14} }}{7}\) \( = \sqrt {\dfrac{2}{7}} \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.