Xét các số phức z thoả \(\left| {z - 1 + 2i} \right| = 2\sqrt 5 \) và số phức w thoả mãn \(\left( {5 +

Câu hỏi số 574648:

Vận dụng cao

Xét các số phức z thoả \(\left| {z - 1 + 2i} \right| = 2\sqrt 5 \) và số phức w thoả mãn \(\left( {5 + 10i} \right)\overline w = \left( {3 - 4i} \right)z - 25i\). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| w \right|\) bằng:

A. 4

B. \(2\sqrt {10} \)

C. \(4\sqrt 5 \)

D. 6

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574648

Phương pháp giải

Biến đổi và tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w.

Sử dụng phương pháp hình học.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {5 + 10i} \right)\overline w = \left( {3 - 4i} \right)z - 25i\\ \Leftrightarrow \left( {5 + 10i} \right)\overline w + 25i + \left( {3 - 4i} \right)\left( { - 1 + 2i} \right) = \left( {3 - 4i} \right)z + \left( {3 - 4i} \right)\left( { - 1 + 2i} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {5 + 10i} \right)\overline w + 5 + 35i = \left( {3 - 4i} \right)\left( {z - 1 + 2i} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {5 + 10i} \right|\left| {\overline w + 3 + i} \right| = \left| {3 - 4i} \right|\left| {z - 1 + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow 5\sqrt 5 \left| {\overline w + 3 + i} \right| = 5.2\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {\overline w + 3 + i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {w + 3 - i} \right| = 2\end{array}\)

=> Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm \(I\left( { - 3;1} \right)\), bán kính R = 2.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w ta có \(P = \left| w \right| = OM\).

\(\begin{array}{l}{P_{\min }} = O{M_{\min }} = OI - R = \sqrt {{3^2} + {1^2}} - 2 = \sqrt {10} - 2\\{P_{\max }} = O{M_{\max }} = OI + R = \sqrt {{3^2} + {1^2}} + 2 = \sqrt {10} + 2\end{array}\).

Vậy \({P_{\min }} + {P_{\max }} = \sqrt {10} - 2 + \sqrt {10} + 2 = 2\sqrt {10} \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.