Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn \({\log _4}\left( {\sqrt {{x^2} +

Câu hỏi số 575494:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn \({\log _4}\left( {\sqrt {{x^2} + {3^y}} - x} \right).{\log _3}\left( {\sqrt {{x^2} + {3^y}} + x} \right) = {y^2} - 7y\)?

A. \(8\)

B. \(10\)

C. \(11\)

D. \(9\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575494

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {{\log }_4}\left( {\sqrt {{x^2} + {3^y}} - x} \right)}\\{v = {{\log }_3}\left( {\sqrt {{x^2} + {3^y}} + x} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^u} = \sqrt {{x^2} + {3^y}} - x}\\{{3^v} = \sqrt {{x^2} + {3^y}} + x}\end{array}} \right. \Rightarrow {4^u}{.3^v} = {3^y}\)

\( \Rightarrow y = v + u{\log _3}4 \Rightarrow v = y - u{\log _3}4\)

Theo đề bài: \(uv = {y^2} - 7y \Leftrightarrow u\left( {y - u{{\log }_3}4} \right) = {y^2} - 7y\)

\( \Leftrightarrow {u^2}.{\log _3}4 - uy + {y^2} - 7y = 0\) \(\left( * \right)\)

Điều kiện tồn tại \(x,y\) là \(\left( * \right)\) có nghiệm \(u\) hay

\(\Delta = {y^2} - 4\left( {{y^2} - 7y} \right){\log _3}4 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {y^2}\left( {1 - 4{{\log }_3}4} \right) + 28y.4{\log _3}4 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 0 \le y \le - \dfrac{{28{{\log }_3}4}}{{1 - 4{{\log }_3}4}} \approx 8,7\)

Vì \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y \in \left\{ {0;1;...;7;8} \right\}\)

Vậy có \(9\) giá trị nguyên của \(y\) thỏa yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.