Cho số phức \({z_1}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 3 - i} \right| = 1\) và số phức \({z_2} = m + \left( { - {m^2} + 1} \right)i\) với \(m \in \mathbb{R}\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) bằng

Câu 575495: Cho số phức \({z_1}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 3 - i} \right| = 1\) và số phức \({z_2} = m + \left( { - {m^2} + 1} \right)i\) với \(m \in \mathbb{R}\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) bằng

A. \(\sqrt 5 + 1\)

B. \(\sqrt 5 - 1\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Câu hỏi : 575495

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1}\).
Ta có \(\left| {{z_1} - 3 - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {{z_1} - \left( {3 + i} \right)} \right| = 1\)
Suy ra tập hợp cấc điểm biểu diễn số phức \({z_1}\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;1} \right)\), bán kính \(R = 1\).
Gọi \(N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_2}\). Suy ra \(N\left( {m; - {m^2} + 1} \right)\)
Ta có: \(MN = IN - R = IN - 1\)
Suy ra \({\left| {{z_1} - {z_2}} \right|_{min}} = M{N_{min}} = I{N_{min}} - R\)
Ta có \(IN = \sqrt {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + {{\left( { - {m^2} + 1 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{m^4} + {m^2} - 6m + 9} \)
Xét hàm số \(f\left( m \right) = {m^4} + {m^2} - 6m + 9,m \in \mathbb{R}\)
\(f'\left( m \right) = 4{m^3} + 2m - 6;f'\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
Bảng biến thiên:
Suy ra \(\mathop {min}\limits_\mathbb{R} f\left( m \right) = 5\)
Vậy \({\left| {{z_1} - {z_2}} \right|_{min}} = M{N_{min}} = I{N_{min}} - R = \sqrt 5 - 1\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.