Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({x^3} + y + {\log _2}\dfrac{x}{y} = 8{y^3} + 2y + 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} - y\) bằng

Câu 575493: Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({x^3} + y + {\log _2}\dfrac{x}{y} = 8{y^3} + 2y + 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} - y\) bằng

A. \(\dfrac{1}{8}\)

B. \( - \dfrac{1}{{16}}\)

C. \( - \dfrac{1}{4}\)

D. \(\dfrac{1}{4}\)

Câu hỏi : 575493

Đáp án : B
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Ta có: \({x^3} + y + {\log _2}\dfrac{x}{y} = 8{y^3} + 2y + 1\)
\( \Leftrightarrow {x^3} + x + {\log _2}x = {\left( {2y} \right)^3} + 2y + {\log _2}\left( {2y} \right)\) \(\left( 1 \right)\)
\(f\left( t \right) = {t^3} + t + {\log _2}t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 + \dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0\) \(\left( {\forall t > 1} \right)\)
\( \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Suy ra \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 2y\)
\(P = {x^2} - y = 4{y^2} - y \Rightarrow \min P = - \dfrac{1}{{16}}\) khi \(y = \dfrac{1}{8}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.