Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^2}\left(

Câu hỏi số 575605:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {{x^2} - x} \right),\,\,x \in \mathbb{R}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - 6x + m} \right)\) có 5 điểm cực trị. Tính tổng tất cả các phần tử của \(S\).

A. 154.

B. 17.

C. 213.

D. 153.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575605

Phương pháp giải

- Tính \(y' = {\left( {f\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - 6x + m} \right)} \right)^'}\).

- Dùng tương giao hàm số để tìm \(m\) sao cho \(y' = 0\) có đúng 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\\x = 1\end{array} \right.\) với \(x = 2\) là nghiệm kép.

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - 6x + m} \right)\).

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \left( {x - 6} \right)f'\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - 6x + m} \right)\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\\dfrac{1}{2}{x^2} - 6x + m = 0\\\dfrac{1}{2}{x^2} - 6x + m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\\dfrac{1}{2}{x^2} - 6x = - m\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{1}{2}{x^2} - 6x = 1 - m\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị thì (1), (2) mỗi phương trình phải cho 2 nghiệm bội lẻ phân biệt (*)

Xét \(h\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^2} - 6x\)

\(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = x - 6\\h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6\end{array}\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

\(\left( * \right) \Leftrightarrow - m > - 18 \Leftrightarrow m < 18\)

Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m > 0\) nên \(m \in \left\{ {1;2;...;17} \right\}\).

Tổng các phần tử của \(S\) là 153.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.