Có bao nhiêu số nguyên dương \(b\) sao cho ứng với mỗi \(b\) có đúng 3 giá trị nguyên dương của
Có bao nhiêu số nguyên dương \(b\) sao cho ứng với mỗi \(b\) có đúng 3 giá trị nguyên dương của \(a\) thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{{2^a} + a}}{{ab}} + {2^a} \le a\left( {b - 1} \right)\)?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Dùng hàm đặc trưng tìm ra mối quan hệ giữa \(a,\,\,b\).
- Dùng tương giao để tìm ra số \(b\).
Ta có: \({\log _2}\dfrac{{{2^a} + a}}{{ab}} + {2^a} \le a\left( {b - 1} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^a} + a} \right) - {\log _2}\left( {ab} \right) + {2^a} \le ab - a\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^a} + a} \right) + {2^a} + a \le {\log _2}\left( {ab} \right) + ab\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}x + x,\,\,x > 0\)
\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x\ln 2}} + 1 > 0,\,\,\forall x > 0\)
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Khi đó
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2^a} + a \le ab\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{2^a}}}{a} \le b - 1\end{array}\)
Xét \(h\left( x \right) = \dfrac{{{2^a}}}{a},\,\,a \in \left( {0; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l}h'\left( a \right) = \dfrac{{a{{.2}^a}\ln 2 - {2^a}}}{{{a^2}}}\\h'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a{.2^a}\ln 2 - {2^a} = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{{\ln 2}} = {a_0}\end{array}\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình có đúng 3 nghiệm
\( \Leftrightarrow \dfrac{8}{3} \le b - 1 \le 4 \Leftrightarrow \dfrac{{11}}{3} \le b \le 5\)
Vậy có đúng 1 số nguyên dương \(b\) thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
