Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá

Câu hỏi số 575604:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\). Tính mô đun của số phức \(w = M + mi\).

A. \(\left| w \right| = 2\sqrt {314} \).

B. \(\left| w \right| = 2\sqrt {309} \).

C. \(\left| w \right| = \sqrt {1258} \).

D. \(\left| w \right| = 3\sqrt {317} \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575604

Phương pháp giải

- Gọi \(z = a + bi,\,\,a,\,\,b \in \mathbb{R}\).

- Từ giả thiết suy ra mối quan hệ giữa \(a,\,\,b\).

- Tính \(P\) theo \(a,\,\,b\).

- Tìm \(M,\,\,m\).

Giải chi tiết

Giả sử \(z = a + bi,\,\,a,\,\,b \in \mathbb{R}\).

Từ giả thiết ta có: \({\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 5\,\,\left( C \right)\).

\(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;4} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 5 \).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\left| {a + 2 + bi} \right|^2} - {\left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right|^2}\\ = {\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} - \left( {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \right)\\ = 4a + 2b + 3\\ \Rightarrow 4a + 2b + 3 - P = 0\,\,\left( \Delta \right)\end{array}\)

Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì \(d\left( {I,\left( \Delta \right)} \right) \le R\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {23 - P} \right|}}{{2\sqrt 5 }} \le \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {23 - P} \right| \le 10\\ \Leftrightarrow - 10 \le 23 - P \le 10\\ \Leftrightarrow 13 \le P \le 33\end{array}\)

Vậy \(M = 33,\,\,m = 13 \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{33}^2} + {{13}^2}} = \sqrt {1258} \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.