Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(4a\), cạnh bên bằng \(2\sqrt 3 a\) và \(O\) là tâm

Câu hỏi số 575866:

Vận dụng

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(4a\), cạnh bên bằng \(2\sqrt 3 a\) và \(O\) là tâm của đáy. Gọi \(M,N,P\) và \(Q\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {SDA} \right)\). Thể tích của khối chóp \(O.MNPQ\) bằng

A. \(\dfrac{{4{a^3}}}{3}\).

B. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\).

C. \(\dfrac{{128{a^3}}}{{81}}\).

D. \(\dfrac{{64{a^3}}}{{81}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575866

Phương pháp giải

Thể tích của khối chóp là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Giải chi tiết

Gọi \({M_1},{N_1},{P_1},{Q_1}\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA.\)

Do hình chóp \(S.ABCD\) đều nên các bộ điểm \(\left( {S,M,{M_1}} \right),\left( {S,N,{N_1}} \right),\left( {S,P,{P_1}} \right),\left( {S,Q,{Q_1}} \right)\) thẳng hàng.

Tam giác \(SO{M_1}\) vuông tại \(O,\,OM\) là đường cao \( \Rightarrow \) \({M_1}M.{M_1}S = {M_1}{O^2} \Rightarrow {M_1}M = \dfrac{{{M_1}{O^2}}}{{{M_1}S}}\).

Mặt khác: \({M_1}O = \dfrac{{BC}}{2} = 2a;{M_1}S = \sqrt {S{B^2} - BM_1^2} = \sqrt {12{a^2} - 4{a^2}} = 2a\sqrt 2 \).

Từ đó suy ra: \({M_1}M = \dfrac{{4{a^2}}}{{2a\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 = \dfrac{1}{2}{M_1}S \Rightarrow \) \(M\)là trung điểm \(S{M_1}\).

Tương tự, ta chứng minh được \(N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(S{N_1},S{P_1},S{Q_1}.\)

Khi đó, \(MNPQ\) là hình vuông có cạnh \(MN = \dfrac{{{M_1}{N_1}}}{2} = \dfrac{{AC}}{4} = \dfrac{{4a.\sqrt 2 }}{4} = a\sqrt 2 \), diện tích \({S_{MNPQ}} = 2{a^2}\)

Chiều cao của khối chóp \(O.MNPQ\):

\(d\left( {O;\left( {MNPQ} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{{SO}}{2} = \dfrac{{\sqrt {SM_1^2 - OM_1^2} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {8{a^2} - 4{a^2}} }}{2} = a\).

Vậy, thể tích khối chóp \(O.MNPQ\) là:

\({V_{O.MNPQ}} = \dfrac{1}{3}{S_{MNPQ}}.d\left( {O;\left( {MNPQ} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}.2{a^2}.a = \dfrac{{2{a^3}}}{3}.\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.