Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| z \right| = 1\) và biểu thức \(P = \left| {{z^{2022}} + {{\left( {\bar

Câu hỏi số 575865:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| z \right| = 1\) và biểu thức \(P = \left| {{z^{2022}} + {{\left( {\bar z} \right)}^{2020}} + 9z} \right| - 4\left| {{z^{2021}} + 2} \right|\). Gọi \(M,m\) là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(P\). Giá trị của \({M^2} + {m^2}\) bằng

A. \(9\).

B. \(10\).

C. \(11\).

D. \(12\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575865

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau: \(|z{|^2} = z \cdot \bar z,\,\,\left| {z.w} \right| = \left| z \right|.\left| w \right|\).

Giải chi tiết

+) Ta có \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow |z{|^2} = 1 \Leftrightarrow z \cdot \bar z = 1 \Rightarrow \bar z = \dfrac{1}{z}\).

+) \(P = \left| {{z^{2022}} + {{\left( {\bar z} \right)}^{2020}} + 9z} \right| - 4\left| {{z^{2021}} + 2} \right|\) \( = \left| {z\left( {{z^{2021}} + \dfrac{{{{\left( {\bar z} \right)}^{2020}}}}{z} + 9} \right)} \right| - 4\left| {{z^{2021}} + 2} \right|\)

\( = \left| z \right|.\left| {{z^{2021}} + \dfrac{{{{\left( {\bar z} \right)}^{2020}}}}{z} + 9} \right| - 4\left| {{z^{2021}} + 2} \right|\)\( = \left| {{z^{2021}} + {{\left( {\bar z} \right)}^{2021}} + 9} \right| - 4\left| {{z^{2021}} + 2} \right| = \left| {{z^{2021}} + \overline {{z^{2021}}} + 9} \right| - 4\left| {{z^{2021}} + 2} \right|\).

+) Đặt \({z^{2021}} = w = x + yi;\left( {x,y \in {\bf{R}}} \right) \Rightarrow \left| w \right| = {\left| z \right|^{2021}} = 1 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 1\).

+) Khi đó \(P{\rm{ }} = \left| {w + \bar w + 9} \right| - 4\left| {w + 2} \right|\)\( = \left| {2x + 9} \right| - 4\sqrt {{{(x + 2)}^2} + {y^2}} \).

+) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left| {2x + 9} \right| - 4\sqrt {4x + 5} \) trên đoạn \([ - 1;1]\):

Do \(2x + 9 > 0,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\) nên \(f\left( x \right) = 2x + 9 - 4\sqrt {4x + 5} \).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 2 - \dfrac{8}{{\sqrt {4x + 5} }} = 2.\dfrac{{\sqrt {4x + 5} - 4}}{{\sqrt {4x + 5} }} < 0,\)\(\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\).

\( \Rightarrow \) \(M = f( - 1) = 7 - 4 = 3\); \(m = f(1) = 11 - 12 = - 1\).

\( \Rightarrow {M^2} + {m^2} = 10.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.