Có bao nhiêu số nguyên dương \(x \in \left[ {0;20} \right]\) sao cho ứng với mỗi x, tồn tại ít nhất

Câu hỏi số 576009:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên dương \(x \in \left[ {0;20} \right]\) sao cho ứng với mỗi x, tồn tại ít nhất bốn số nguyên dương y thoả mãn \(\left( {1 + {4^{2x - {y^2}}}} \right){5^{1 - 2x + {y^2}}} \le 1 + {2^{2x - {y^2}}}\)?

A. 12

B. 14

C. 8

D. 16

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576009

Giải chi tiết

Đặt \(t = 2x - {y^2}\).

Ta có: \(\left( {1 + {4^t}} \right){5^{1 - t}} \le 1 + {2^t}\)

\( \Leftrightarrow 5.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} + 5.{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^t} - {2^t} - 1 \le 0\)

Xét \(f\left( t \right) = 5.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} + 5.{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^t} - {2^t} - 1\)

Có \(f'\left( t \right) = 5.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t}\ln \dfrac{1}{5} + 5.{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^t}\ln \dfrac{4}{5} - {2^t}\ln 2 < 0\)

\( \Rightarrow f\left( t \right)\) nghịch biến

\(f\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow t \ge 1\)

Vậy \(2x - {y^2} \ge 1 \Leftrightarrow 2x - 1 \ge {y^2}\)

Theo ycbt: Để tồn tại ít nhất bốn số nguyên dương y ta cần \(2x - 1 \ge 16 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{17}}{2}\).

Do \(x \in \left[ {0;20} \right]\), x nguyên dương nên \(x \in \left\{ {9;10;...;20} \right\}\).

Vậy có 12 giá trị x thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.