Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}

Câu hỏi số 576010:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25\) và đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{9} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 5}}{4}\). Có bao nhiêu điểm M thuộc tia Oy, với tung độ là số nguyên, mà từ M kẻ được đến (S) hai tiếp tuyến cùng vuông góc với d?

A. 40

B. 46

C. 44

D. 84

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576010

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-2), bán kính R = 5.

Gọi M(0;m;0) \( \in Oy\,\,\left( {m \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\)

Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc d.

Khi đó ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {9;1;4} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình (Q) có dạng \(9x + y + 4z - m = 0\).

Khi đó (Q) chứa 2 tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ M và cùng vuông góc d:

Để tồn tại các tiếp tuyến thỏa mãn ycbt ta cần: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I;\left( Q \right)} \right) < R\\IM \ge R\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left| {3 - m} \right|}}{{7\sqrt 2 }} < 5\\{\left( {m - 2} \right)^2} + 5 \ge 25\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3 - m} \right| < 35\sqrt 2 \\{\left( {m - 2} \right)^2} \ge 20\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 35\sqrt 2 + 3 < m < 35\sqrt 2 + 3\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 2 + 2\sqrt 5 \\m \le 2 - 2\sqrt 5 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + 2\sqrt 5 \le m < 35\sqrt 2 + 3\\ - 35\sqrt 2 + 3 < m \le 2 - 2\sqrt 5 \end{array} \right.\)

Vì m nguyên dương nên \(m \in \left\{ {7;8;,...;46} \right\}\).

Vậy có 40 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.