Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn \(x > 1;y > 2\) và \(x + y \le 5\). Giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 576933:

Vận dụng cao

Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn \(x > 1;y > 2\) và \(x + y \le 5\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{x + 4}}{{x - 1}} + \dfrac{{2y + 1}}{{y - 2}}\) bằng:

A. 13

B. 14

C. 15

D. 10

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576933

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cô – si

Giải chi tiết

\(P = \dfrac{{x + 4}}{{x - 1}} + \dfrac{{2y + 1}}{{y - 2}} = 1 + \dfrac{5}{{x - 1}} + \dfrac{{2\left( {y - 2} \right) + 5}}{{y - 2}} = 1 + 2 + 5\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{y - 2}}} \right) = 3 + 5\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{y - 2}}} \right)\)

Do \(x > 1;\,y > 2\) nên \(\dfrac{1}{{x - 1}} > 0;\dfrac{1}{{y - 2}} > 0\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{y - 2}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}.\dfrac{1}{{y - 2}}} \)

Dấu bằng xảy ra khi \(\dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{1}{{y - 2}} \Leftrightarrow y - 2 = x - 1 \Leftrightarrow y = x + 1\)

Mà \(x + y \le 5\) nên \(x + x + 1 \le 5 \Leftrightarrow x \le 2\)

Thay \(y = x + 1\) vào P ta có: \(P = 3 + 5.\dfrac{2}{{x - 1}}\)

Vậy \(P\) có giá trị nhỏ nhất khi \(x\) lớn nhất. Mà \(1 < x \le 2\)

Do đó \(x = 2\) thì \(P\) có GTNN là \(13\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link