Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 2mx + 2{m^2} - 9 = 0\). Giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 576932:

Vận dụng

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 2mx + 2{m^2} - 9 = 0\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1} - 2{x_2} + {x_1}{x_2}\) bằng:

A. 9

B. 7

C. 8

D. 15

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576932

Phương pháp giải

Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính \({x_1} + {x_2},{x_1}{x_2}\) theo m

Thay vào biểu thức A, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải chi tiết

\({x^2} - 2mx + 2{m^2} - 9 = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - \left( {2{m^2} - 9} \right) = - {m^2} + 9\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - {m^2} + 9 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 9 \le 0\\ \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3\end{array}\)

Khi đó, theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 2{m^2} - 9\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}A = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1} - 2{x_2} + {x_1}{x_2}\\A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}\\A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2}\\A = {\left( {2m} \right)^2} - 2.2m - \left( {2{m^2} - 9} \right)\\A = 4{m^2} - 4m - 2{m^2} + 9\\A = 2{m^2} - 4m + 9\\A = 2\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 7\\A = 2{\left( {m - 1} \right)^2} + 7\end{array}\)

Vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{\left( {m - 1} \right)^2} + 7 \ge 7,\forall m\\ \Rightarrow A \ge 7\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = 1\) (tmđk)

Vậy GTNN của \(A\) bằng \(7\) khi \(m = 1\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link