Cho \(100\) số nguyên dương \({a_1};{a_2};{a_3};...;{a_{100}}\) thoả mãn : \(\dfrac{1}{{a_1^2}} +

Câu hỏi số 577412:

Vận dụng

Cho \(100\) số nguyên dương \({a_1};{a_2};{a_3};...;{a_{100}}\) thoả mãn : \(\dfrac{1}{{a_1^2}} + \dfrac{1}{{a_2^2}} + ... + \dfrac{1}{{a_{100}^2}} = \dfrac{{199}}{{100}}\).

Chứng minh rằng trong \(100\) số nguyên dương đã cho tồn tại ít nhất hai số bằng nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:577412

Phương pháp giải

+ Phương pháp chứng minh giả sử phản chứng.

+ \(S = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 1 - \dfrac{1}{{n + 1}} = \dfrac{n}{{n + 1}}\)

Giải chi tiết

Giả sử trong \(100\) số nguyên dương đã cho không tồn tại hai số nào bằng nhau.

Đặt \({a_1} < {a_2} < {a_3} < ... < {a_{100}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a_1} \ge 1;\;{a_2} \ge 2;\;{a_3} \ge 3;...;{a_{100}} \ge 100\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{a_1^2}} + \dfrac{1}{{a_2^2}} + \dfrac{1}{{a_3^2}} + ... + \dfrac{1}{{a_{100}^2}} \le \dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có : \(\dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < 1 + \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{99.100}}\)

\(\begin{array}{l} < 1 + 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{99}} - \dfrac{1}{{100}}\\ < 2 - \dfrac{1}{{100}} = \dfrac{{199}}{{100}}\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow \dfrac{1}{{a_1^2}} + \dfrac{1}{{a_2^2}} + ... + \dfrac{1}{{a_{100}^2}} < \dfrac{{199}}{{100}}\) (mâu thuẫn với giả thiết \(\dfrac{1}{{a_1^2}} + \dfrac{1}{{a_2^2}} + \dfrac{1}{{a_3^2}} + ... + \dfrac{1}{{a_{100}^2}} = \dfrac{{199}}{{100}}\))

Vậy tồn tại ít nhất hai số nguyên dương bằng nhau trong \(100\) số đã cho.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link