Cho \(a \ne b \ne c \ne 0\) và \(\dfrac{{a + b}}{c} = \dfrac{{b + c}}{a} = \dfrac{{c + a}}{b}=2\). Tính giá trị

Câu hỏi số 577413:

Vận dụng cao

Cho \(a \ne b \ne c \ne 0\) và \(\dfrac{{a + b}}{c} = \dfrac{{b + c}}{a} = \dfrac{{c + a}}{b}=2\). Tính giá trị biểu thức \(M = \left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right)\left( {1 + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{a}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:577413

Phương pháp giải

+ Áp dụng các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối với phéo cộng.

+ Với \(x = \dfrac{a}{m},y = \dfrac{b}{m}\left( {a,b,m \in \mathbb{Z};m > 0} \right)\), ta có:

\(x + y = \dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{{a + b}}{m}\)

+ Với \(x = \dfrac{a}{b},y = \dfrac{c}{d}\left( {a,b,c,d \in \mathbb{Z};b,d \ne 0} \right)\), ta có:

\(x.y = \dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{{ac}}{{bd}}\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}M = \left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right)\left( {1 + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{a}} \right) = \left( {\dfrac{b}{b} + \dfrac{a}{b}} \right)\left( {\dfrac{c}{c} + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {\dfrac{a}{a} + \dfrac{c}{a}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{a + b}}{b}.\dfrac{{b + c}}{c}.\dfrac{{a + c}}{a}\end{array}\)

Ta có: \(\dfrac{{a + b}}{c} = \dfrac{{b + c}}{a} = \dfrac{{c + a}}{b} = 2\)

Nên:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{a + b}}{c} = 2 \Rightarrow a + b = 2c\\\dfrac{{b + c}}{a} = 2 \Rightarrow b + c = 2a\\\dfrac{{c + a}}{b} = 2 \Rightarrow c + a = 2b\end{array}\)

Khi đó, ta có: \(M = \dfrac{{2c}}{b}.\dfrac{{2a}}{c}.\dfrac{{2b}}{a} = 2.2.2 = 8\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link