Cho hàm số \(y = \dfrac{{ - x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C) và điểm A(a;1). Gọi S là tập hợp tất

Câu hỏi số 577494:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{ - x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C) và điểm A(a;1). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng.

A. 1

B. \(\dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{5}{2}\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:577494

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có hệ số góc là \(k\) là: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Điều kiện để đường thẳng trở thành tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\\f'\left( x \right) = k\end{array} \right.\)

Suy ra phương trình: \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) (*)

Để (C) có 1 tiếp tuyến \( \Leftrightarrow \) (*) có 1 nghiệm

+) TH1: Có nghiệm kép

+) TH2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt và 1 nghiệm x = 1

Giải chi tiết

Gọi phương trình đường thẳng qua A(a;1) là: \(y = k\left( {x - a} \right) + 1\)

Để đường thẳng trở thành tiếp tuyến thì hệ phương trình sau có nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - x + 2}}{{x - 1}} = k\left( {x - a} \right) + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay (2) vào (1):

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 2}}{{x - 1}} = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( { - x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - x + a}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left( { - x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = - x + a + {\left( {x - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - {x^2} + x + 2x - 2 = - x + a + {x^2} - 2x + 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + a + 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để (C) có 1 tiếp tuyến \( \Leftrightarrow \) (*) có 1 nghiệm

+) TH1: Có nghiệm kép

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta = 0\\ \Leftrightarrow 36 - 4.2.\left( {a + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 36 - 8x - 24 = 0\\ \Leftrightarrow a = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

+) TH2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt và 1 nghiệm x = 1

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\x = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12 - 8a > 0\\2 - 6 + a + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < \dfrac{3}{2}\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy tổng các giá trị của a là \(\dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{5}{2}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.