Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) có đồ thị (C) và điểm \(M\left( {m;0} \right)\) sao cho từ M vẽ

Câu hỏi số 577493:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) có đồ thị (C) và điểm \(M\left( {m;0} \right)\) sao cho từ M vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị. Tìm điều kiện của m.

A. \(m \ge 3\)

B. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { \dfrac{1}{3}; + \infty } \right)\)

C. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - \dfrac{1}{3}; + \infty } \right)\)

D. \(m \le - \dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:577493

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có hệ số góc là \(k\) là: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Điều kiện để đường thẳng trở thành tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\\f'\left( x \right) = k\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Gọi phương trình đường thẳng đi qua M(m;0) và có hệ số góc k là: \(y = k\left( {x - m} \right)\)

Để đường thẳng trở thành tiếp tuyến thì hệ phương trình sau có nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} = k\left( {x - m} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} + 6x = k\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay (2) vào (1) \( \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} = \left( {3{x^2} + 6x} \right)\left( {x - m} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} = 3{x^3} + 6{x^2} - 3m{x^2} - 6mx\\ \Leftrightarrow 2{x^3} + 3{x^2} - 3m{x^2} - 6mx = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^3} + \left( {3 - 3m} \right){x^2} - 6mx = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( * \right)\\2{x^2} + \left( {3 - 3m} \right)x - 6m = 0\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để có 3 tiếp tuyến \( \Rightarrow \) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( {**} \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - 3m} \right)^2} + 48m > 0\\0 + 0 - 6m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} + 30m + 9 > 0\\6m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ - 1}}{3}\\m < - 3\end{array} \right.\\m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ - 1}}{3}\\m < - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - \dfrac{1}{3}; + \infty } \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.