Cho đồ thị \(\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2}\). Có bao nhiêu số nguyên \(b \in \left( { -

Câu hỏi số 577495:

Vận dụng

Cho đồ thị \(\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2}\). Có bao nhiêu số nguyên \(b \in \left( { - 10;10} \right)\) để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm \(B\left( {0;b} \right)\).

B. 2

C. 9

D. 17

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:577495

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có hệ số góc là \(k\) là: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Điều kiện để đường thẳng trở thành tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\\f'\left( x \right) = k\end{array} \right.\)

Suy ra phương trình: \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) (*)

Đổi thành bài toán: Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Giải chi tiết

Gọi phương trình tiếp tuyến đi qua B(0;b) là: \(y = kx + b\)

Để đường thẳng trở thành tiếp tuyến thì hệ phương trình sau có nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} = kx + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - 6x = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay (2) vào (1)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = \left( {3{x^2} - 6x} \right)x + b\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = 3{x^3} - 6{x^2} + b\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 3{x^2} + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đổi bài toán: Tìm b để phương trình (*) có 1 nghiệm \( \Leftrightarrow b = - 2{x^3} + 3{x^2}\)

Vẽ BBT: \(y = - 2{x^3} + 3{x^2}\)

+) \(y' = - 6{x^2} + 6x\)

+) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

+) BBT:

Để phương trình có 1 nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b > 1\\b < 0\end{array} \right.\)

Mà \(b \in \left( { - 10;10} \right)\)

Vậy có 17 số nguyên của b thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.